Som matematikere kan vi si at musikk er en form for brøkregning. Komponister bruker følgende tegn når de skal fortelle varigheten av en tone eller en pause:

bilde1

En note forteller hvor lenge en tone skal vare. Hver note har sitt tilsvarende pausetegn.

Dersom komponisten vil at en helnote skal angi at en tone skal vare to sekund, angir en halvnote at den skal vare ett sekund, en kvartnote at den skal vare et halvt sekund, dvs. 120 fjerdedelsslag i minuttet osv.

Alternativt kan tempo angis løsere med for eksempel adagio (langsomt) eller presto (hurtig).

Hvilken tone som skal lyde, framkommer av notetegnets plassering på/i forhold til fem notelinjer, eventuelt med hjelpelinjer (ekstralinjer). Jo høyere på notelinjene en note er plassert, jo lysere er tonen.

Et punkt (punktum) etter et notetegn/pausetegn betyr at varigheten av den aktuelle tonen/pausen skal forlenges med halvparten av tegnets verdi. Vi sier da at noten/pausen er punktert.

punktert fjerdedels

En punktert fjerdedelsnote angir for eksempel at den aktuelle tonen skal vare/lyde like lenge som samlet varighet av tre åttendedelstoner fordi

bilde2

 

 

4-4

Et musikkstykke er delt i takter med et bestemt antall taktslag i hver takt. På den første notelinjen blir det angitt med en taktbrøk, som eksempelet til venstre som leses ”fire fjerdedeler”.

Når takten er fire fjerdedeler, sier vi at musikkstykket ”går i” fire fjerdedeler.

Telleren i taktbrøken forteller antall slag i hver takt. Nevneren forteller hvor lenge hvert slag skal vare. Telleren i takten , dvs. 4, angir at det skal være fire slag i hver takt.

4 i nevneren forteller at hvert taktslag skal vare like lenge som den tiden en fjerdedelsnote angir.

 

La oss se på en liten melodi sim går i fire fjerdedeler:

 

bilde3

Hør på melodien mens du ser på notene – trykk på ikonet under

play-btn

Prøv å synge melodien «Vokal oppvarming»

Melodien/sangen ”Vokal oppvarming” går i fire fjerdedeler. Selv om melodien ikke bare har fjerdedelsnoter, skal summen av noteverdiene i hver takt være fire fjerdedeler.

La oss kontrollregne den første fulle takten. Vi kaller den takt nr. 1:

bilde6kontrollregn

«Takten» foran den første og den siste i et musikkstykke behøver ikke å stemme med taktbrøken. Hvis de ikke gjør det, må de til sammen stemme med taktbrøken. Da kaller vi «takten» foran den første en opptakt.

Fra Wikipedia, den frie encyklopedi:
Opptakt er en eller flere ubetonte impulser, som da kommer før første takt. For at det skal gå opp med takter og slag, blir opptakten en del av siste takt, dvs at hvis en sang går i 4/4, og har en opptakt på 1/4, så må siste takt være på 3/4.

Kontrollregn selv de andre taktene

Brøkregning og musikk innledet «et forhold» allerede for to og et halvt tusen år siden. Da utarbeidet matematikeren Pytagoras, ved hjelp av brøkregning, en harmonilære som i stor grad stemmer med de harmoniene vi bruker og er vant med i dag. Harmoni vil enkelt si at noen toner klinger godt sammen.

Den store tyske matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz, som levde i det syttende århundret, uttalte følgende om forholdet mellom matematikk og musikk generelt:

«Die Musik ist eine verborgene arithmetische Übung der Seele, welche dabei nicht weiss, dass sie mit Zahlen umgeht. Die Seele vollbringt nämlich vieles in unklarer und unbemerkter Erkenntnistätigkeit, was sie mittels deutlicher Wahrnehmung nicht bemerken kann. Denn diejenigen sind im Irrtum, welche meinen, es könne nicht in der Seele geschehen, dessen sie selbst sich nicht bewusst werde. Wenn daher die Seele auch nicht merkt, dass sie rechnet, so fühlt sie doch die Wirkung dieser unbemerkten Rechnung, sie es als Freude am Zusammenklang, als Bedrückung beim Missklang …»

Musikk og tolvterota av to

Tangentene på et keyboard fra en C (her kalt C1) til den neste (her kalt C2) har følgende betegnelser:

bilde7

 

 

 

Systemet gjentar seg fra C2 til den neste C-en (C3):

bilde8

 

 

 

Avstanden i tonehøyde fra en tangent til den neste med den samme betegnelsen kaller vi en oktav. Når vi forflytter oss en oktav, fordobles tonehøyden, dvs. antall svingninger per sekund eller hertz (Hz).

Pytagoras satte opp regler for hvordan forholdene mellom tonehøydene i oktaven skulle være. Det at Pytagoras styrte unna irrasjonale tall, kan være, men behøver ikke å være, årsaken til at disse forholdene ble rasjonale.

Et rasjonalt tall er en brøk der telleren og nevneren er hele tall.

Tonen F skulle for eksempel være 4/3  og tonen G  3/2 ganger så høy som C-en foran.

I en oktav er det tolv tonetrinn. Samtlige toner spilt etter hverandre innenfor en oktav kalles en tolvtoneskala.

Med Pytagoras sine definisjoner som utgangspunkt, blir de prosentvise økningene i tonehøyde fra en tone til den neste i en tolvtoneskala litt forskjellige, og instrumentet må stemmes på nytt når vi ønsker å skifte toneart (dur eller moll).

For å slippe det, stemmer vi noen ganger slik at hvert tonetrinn har den samme prosentvise økningen i tonehøyde. Vi sier da at tolvtoneskalaen er likt temperert (eventempered) eller bare temperert.

I en likt temperert tolvtoneskala gir hvert tonetrinn en økning i tonehøyde på rundt 5,9 prosent.

For å få en fordobling i tonehøyde gjennom tolv tonetrinn, skal hver tone teoretisk være » 1,059463094… ganger så høy som tonen foran, dvs. at vekstfaktoren er tilnærmet 1,059 eller at prosentfaktoren er 0,059 (vekstfaktorer og prosentfaktorer blir gjennomgått i kapitlet om prosentregning i MATTE MED TESKJE).

Når vi har beregnet alle tonene i oktaven, har vi multiplisert med  tolv ganger. Det gir en fordobling i tonehøyde fordi

bilde9

 

 

Under har vi beregnet tonehøydene fra C1 til C2 i en likt temperert tolvtoneskala med én desimal dersom tonen A settes til 440,0 Hz (det er vanlig).

Til sammenligning har vi til høyre skrevet de vanligste frekvensene for de samme tonene, når en tar utgangspunkt i de harmoniene (en harmoni er resultatet av å spille to eller flere toner samtidig) som Pytagoras definerte:

bilde10

Det er mulig at Pytagoras ville valgt sine harmonier, selv om han hadde vært fortrolig med irrasjonale tall.

En likt temperert skala gjør det lettere å skifte toneart (å skifte dur og å skifte moll), men ofte foretrekker musikere Pytagoras sine harmonier.

Da høres det rent ut, sier mange.

Skyldes det vane eller kan det begrunnes, for eksempel ved å beregne frekvenser for de tonene som dannes når to strenger er nært hverandre og svinger med forskjellige frekvenser?